مقاله مفاهیم توپولوژی دیجیتال (1992 الزویر)

۱. مقدمه

۲. تورین‌های استاندارد و روابط مجاورت

روابط مجاورت خالیمسکی

۳. فضاهای تصویر دیجیتال دودویی و تصاویر دیجیتال دودویی

۳.۱. انتخاب بازنمود

۳.۲. فضاهای تصویر دیجیتال دودویی

۳.۳. تصاویر دیجیتال دودویی

۳.۴. همبندی. مولفه‌ها. مسیرها. خم‌های ساده‌ی بسته

۳.۵. مرزها. احاطه. حفره‌ها و کاواک‌ها. پس‌زمینه

۳.۶. فضاهای منظم تصویر دیجیتال

۳.۷. ـ‌گشت‌ها و ـ‌دورها؛ گروه‌های بنیادی دیجیتال

۴. فضاهای تصویر دیجیتال قویاً نرمال

۴.۱. بحث کلی

۴.۲. تعریف یک DPS قویاً نرمال

۴.۳ مثال‌هایی از DPSهای قویاً نرمال

۴.۴. گشت‌ها و دورهای دیجیتال سیاه؛ گروه بنیادی دیجیتال گسسته

۵. نظیرهای پیوسته‌ تصاویر دیجیتال

۵.۱. ویژگی‌های نظیر پیوسته

۵.۲. مکعب‌های واحد معمولی و ویژه‌ی شبکه. ـ‌سادک‌ها

۵.۳. مجموعه‌نقاط سیاه و سفید افزوده؛ ـ‌سادک‌های سیاه، سفید و نیم‌سیاه

۶. قضیه‌ اصلی

۶.۱. بیان نتیجه

۶.۲. همریختی‌های خوش‌تعریف

۶.۳. Tـ‌مجاورت، Tـ‌گشت‌ها، Tـ‌دورها و ـ‌گشت‌ها

۶.۴. اثبات قضیه‌ی اصلی

۷. ویژگی‌های توپولوژیک فضاهای تصویر دیجیتال قویاً نرمال

۷.۱. مقدمات

۷.۲. قضیه‌ی یک خم جردن دیجیتال

۷.۳. گراف مجاورت. نرمال بودن ضعیف

۷.۴. همبندی مرزها

۷.۵. استقلال توپولوژیک مولفه‌های متمایز I

۷.۶. استقلال توپولوژیک مولفه‌های متمایز II

۷.۷ مشخصه‌ی اویلر. تونل‌ها

۷.۸. محاسبه‌ مشخصه‌های اویلر

۷.۹. هم‌ارزی تعاریف گسسته و پیوسته‌ی گروه بنیادی دیجیتال

۸. نکات پایانی

Kong, T.Y., A.W. Roscoe and A. Rosenfeld, Concepts of digital topology, Topology and its Applications 46 (1992) 219-262. In an earlier paper written for a different readership [Computers and Graphics 13(2) (1989) 159-1661 the first author defined a digitalfundamentalgroup-an analog, for binary digital pictures, of the fundamental group. In general the definition of the digital fundamental group involves continuous deformation. But an alternative, discrete, definition of the digital fundamental group was proposed for the strongly normal digital picture spaces defined in the same paper. The above-mentioned paper also defined a “continuous analog” C(p) for each binary digital picture B on such a DPS (DPS = digital picture space). C(p) is a polyhedron constructed by “filling in the gaps” between black points (l’s) of the binary digital picture B in a specific way. Other kinds of continuous analog had previously been used by the first two authors. In seeking the simplest and most efficient algorithms for performing image processing operations, researchers have considered many different combinations of grids and adjacency relations. Almost all of those combinations are isomorphic to special cases of the concept of a strongly normal DPS.

در مقاله‌ی قبلی که برای مخاطبان متفاوتی نوشته شده است [کامپیوترها و گرافیک 13(2) (۱۹۸۹) ۱۶۶-۱۵۹] نخستین مولف یک گروه بنیادی دیجیتال را تعریف کرد ـ یک نظیر، برای تصاویر دیجیتال دودویی، از گروه بنیادی. در حالت کلی تعریف گروه بنیادی دیجیتال با تغییر شکل پیوسته همراه است. اما یک تعریف بدیل، گسسته، از گروه بنیادی دیجیتال ارایه شد برای فضاهای تصویر دیجیتال قویاً نرمال که در همان مقاله تعریف شدند. مقاله‌ی مزبور همچنین یک «نظیر پیوسته» را برای هر تصویر دیجیتال دودویی روی یک DPS (DPS = فضای تصویر دیجیتال) تعریف کرد. یک چندوجهی است که با «پر کردن شکاف‌ها»ی بین نقاط سیاهِ (۱های) تصویر دیجیتال دودویی به یک شیوه‌ی خاص ساخته می‌شود. انواع دیگر نظیر پیوسته را دو مولف اول پیشتر مورد استفاده قرار داده‌اند.

پژوهشگران، در جستجوی ساده‌ترین و کارآمدترین الگوریتم برای انجام عملیات پردازش تصویر، بسیاری از ترکیبات متفاوت تورین‌ها و روابط مجاورت را مد نظر قرار داده‌اند. تقریباً همه‌ی آن ترکیب‌ها یکریخت به حالت‌های خاصی از مفهوم یک DPS قویاً نرمال هستند.