مقاله همگرایی روش های هم محلی بدون شبکه مبتنی بر هسته نامتقارن (2007)

1. محتوا

2. مسائل خوش رفتار و نظم

3.تقریب فضاهای آزمایش

4.فضاهای آزمایش مبتنی بر هسته

5. پایداری تست گسسته سازی مبتنی بر هسته

6. همگرایی قوی در فضاهای سوبولوف

7. همگرایی ضعیف در فضاهای سوبولوف

8. روش های عددی

9. مسائل بدرفتار

10. نتایج

This paper proves convergence of variations of the unsymmetric kernel-based collocation method introduced by Kansa in 1986. Since then, this method has been very successfully used in many applications, though it may theoretically fail in special situations, and though it had no error bound or convergence proof up to now. Thus it is necessary to add assumptions or to make modifications. Our modifications prevent numerical failure by dropping strict collocation and allow a rigorous mathematical analysis proving error bounds and convergence rates. These rates improve with the smoothness of the solution, the domain, and the kernel providing the trial spaces, but they are currently not yet optimal and deserve refinement. They are based on rates of approximation to the residuals by nonstationary meshless kernel-based trial spaces, and they are independent of the type of differential operator. The results are applicable to large classes of linear problems in strong form, provided that there is a smooth solution and the test and trial discretizations are chosen with some care. Our analysis does not require assumptions like ellipticity, and it can be extended to ill-posed problems.

این مقاله، همگرایی از گونه های روش هم محلی مبتنی بر هسته نامتقارن، معرفی شده توسط کانسا در 1986 اثبات می کند. از آن پس، این روش بطور موفقیت آمیزی در بسیاری کاربردها استفاده شد، اگرچه ممکن است بطور تئوری در شرایط خاصی موفقیت آمیز نباشد، و هیچ کران خطا یا اثباتی برای همگرایی تاکنون بیان نشده است. بنابراین ضروری است تا فرضیاتی اضافه کنیم یا اصلاحاتی انجام دهیم. اصلاحاتمان از خطای عددی بوسیله حذف هم محلی اکید جلوگیری می کند و تحلیل ریاضی قوی برای اثبات کران های خطا و حوزه های همگرایی ارائه می دهد. این حوزه ها، با همواری جواب، دامنه، و هسته مشروط بر فضاهای آزمایش بهبود می یابد، اما هنوز بهینه نیستند و نیازمند تکامل هستند. این روش ها مبتنی بر تقریب به باقیمانده ها بوسیله فضاهای جواب بدون شبکه مبتنی بر هسته هستند، و مستقل از نوع عملگر دیفرانسیل می باشند. نتایج به کلاس های بزرگی از مسائل خطی در فرم قوی بکار گرفته می شوند، به شرطی که یک جواب هموار وجود داشته باشد و گسسته سازی با بعضی دقت ها انتخاب می شود. آنالیزمان فرضیاتی شبیه بیضوی بودن را نیاز ندارد و می تواند به مسائل بدرفتار تعمیم داده شود.