مقاله تسلط در 3-تورنمنت ها (2017 الزویر)

حدس 1 (جیارفاس)

تذکرها

A 3-tournament is a complete 3-uniform hypergraph where each edge has a special vertex designated as its tail. A vertex set X dominates T if every vertex not in X is contained in an edge whose tail is in X. The domination number of T is the minimum size of such an X. Generalizing well-known results about usual (graph) tournaments, Gyárfás conjectured that there are 3-tournaments with arbitrarily large domination number, and that this is not the case if any four vertices induce two triples with the same tail. In this short note we solve both problems, proving the first conjecture and refuting the second.

یک 3-تورنمنت، یک ابرگراف 3-یکنواخت کامل است که هر یال یک رأس ویژه تعیین شده بوسیله دنباله اش دارد. یک مجموعه رئوس X بر T تسلط دارد اگر هر رأس که در X نیست شامل یالی باشد که دنباله اش در X است. عدد تسلطی از T اندازه مینیمم از چنین X است. نتایج معروف تعمیم یافته در مورد تورنمنت ها (گراف) معمولی، جیارفاس حدس زد که 3-تورنمنت با عدد تسلطی بزرگ دلخواه وجود دارد، و این مطلب درست نیست اگر برای هر چهار رأس، دو تا سه گانه با دنباله یکسان ایجاد شود. در این یادداشت مختصر هر دو مساله را حل می کنیم، حدس نخست را اثبات کرده و دومی را رد می کنیم.

یک تورنمنت، یک گراف جهتدار کامل است. تعمیم زیر از تورنمنت ها به یکنواختی بالاتر توسط جیارفاس پیشنهاد شد. یک r – تورنمنت یک ابرگراف r – یکنواخت کامل T است که هر یال، یک رأس ویژه تعیین شده به وسیله دنباله اش دارد. می گوییم مجموعه رأس X بر T تسلط دارد اگر هر رأس خارج از X حاوی یک ابریال باشد که دنباله اش در X است. عدد تسلطی از T اندازه مینیمم از چنین مجموعه تسلطی است. اخیرا جیارفاس دو حدس زیر در مورد 3-تورنمنت ها را بیان کرده است ( [6] ببینید).